2019学年高中数学专项解说之圆锥曲线常见的二级结论

椭圆

双曲线

标准方程

焦点

焦点

焦半径

为离心率，为点的横坐标.

为离心率，为点的横坐标.

焦半径范围

为椭圆上一点，为焦点.

为双曲线上一点，为焦点.

通径

过焦点与长轴垂直的弦称为通径.

通径长为

过焦点与实轴垂直的弦称为通径.

通径长为

如图，直线过焦点与椭圆相交于两点.则的周长为.

（即）

如图，直线过焦点与双曲线相交于两点.则.

焦点弦

倾斜角为的直线过焦点与椭圆相交于两点.

焦点弦长.

最长焦点弦为长轴，最短焦点弦为通径.

倾斜角为的直线过焦点与双曲线相交于两点.

焦点弦长.

与数目关系

直线过焦点与椭圆相交于两点，则.

直线过焦点与双曲线相交于两点，则.

已知点是椭圆上一点，坐标原点，

则.

已知点是双曲线上一点，坐标原点，

则.

焦三角形

如图，是椭圆上异于长轴端点的一点，已知，，

，则

（1）；

（2）离心率.

如图，是双曲线上异于实轴端点的一点，已知，，

，则

（1）；

（2）离心率.

垂径定理

如图，已知直线与椭圆相交于两点，点为的中点，为原点，则

.

如图，已知直线与双曲线相交于两点，点为的中点，为原点，则

.

（注：直线与双曲线的渐近线相交于两点，其他条件不变，结论依旧成立）

周角定理

如图，已知点椭圆长轴端点（短轴端点），是椭圆上异于的一点，

则.

推广：如图，已知点是椭圆上关于原点对称的两点，是椭圆上异于的一点，若直线的斜率存在且不为零，

如图，已知点双曲线实轴端点，是双曲线上异于的一点，

则.

推广：如图，已知点是双曲线上关于原点对称的两点，是双曲线上异于的一点，若直线的斜率存在且不为零，

.

直线过焦点与椭圆相交于两点，点，

则（即）.

直线过焦点与双曲线相交于两点，点，

则（即）.

切线方程

已知点是椭圆上一点，则椭圆在点处的切线方程为.

已知点是双曲线上一点，则双曲线在点处的切线方程为.